Bonsoir, je rencontre des difficultés avec une question de mon exercice : f(x) défini par 4x+1-1/(1-x) et sa dérivée f'(x)=4x²-8x+3/(1-x)² sur R-{1} Question :

Bonsoir  Njere516

La fonction f est définie par  [tex]f(x)=4x-4-\dfrac{1}{1-x}[/tex]

La dérivée f' est définie par [tex] f'(x)=\dfrac{4x^2-8x+3}{(1-x)^2}[/tex]

Soit P(1;5) et Q(a;f(a)) un point situé sur la courbe Cf.

Le coefficient directeur de la droite passant par les points P et Q est donné par 

[tex]m_{PQ}=\dfrac{f(a)-5}{a-1}\\\\m_{PQ}=\dfrac{(4a+1-\dfrac{1}{1-a})-5}{a-1}\\\\m_{PQ}=\dfrac{4a-4-\dfrac{1}{1-a}}{a-1}\\\\m_{PQ}=\dfrac{4(a-1)+\dfrac{1}{a-1}}{a-1}\\\\[/tex]

[tex]m_{PQ}=\dfrac{\dfrac{4(a-1)^2+1}{a-1}}{a-1}\\\\m_{PQ}=\dfrac{4(a-1)^2+1}{(a-1)^2}[/tex]

Si la tangente existe, ce coefficient directeur doit être égal au coefficient directeur de la tangente, soit f'(a)

Or  [tex] f'(a)=\dfrac{4a^2-8a+3}{(1-a)^2}[/tex]

Si  [tex]m_{PQ}=f'(a)[/tex], alors

[tex]\dfrac{4(a-1)^2+1}{(a-1)^2}=\dfrac{4a^2-8a+3}{(1-a)^2}\\\\\dfrac{4(a-1)^2+1}{(a-1)^2}=\dfrac{4a^2-8a+3}{(a-1)^2}\\\\4(a-1)^2+1=4a^2-8a+3\\\\4(a^2-2a+1)+1=4a^2-8a+3\\\\4a^2-8a+4+1=4a^2-8a+3\\\\4a^2-8a+5=4a^2-8a+3[/tex]

[tex]4a^2-4a^2-8a+8a+5-3=0\\\\2=0\\\\\boxed{impossible}[/tex]

Par conséquent, 
il n'existe pas de tangente à Cf passant par le point (1;5)