Hey vous pouvez m'aidez svp? Pour cette exercice super long la justification compte !! Genre les propriétés etc Mercii d'avance!

PARTIE A

1. Avec la réciproque du théorème de Pythagore je vérifie si le carré de l'hypoténuse et égal au carré de la somme des deux autres côtés...
AC² = AB² + BC²
20² = 12² + 16²
400 = 144 + 256
400 = 400
L'égalité est prouvée donc on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle à B.

2. Calculer l'aire du triangle ABC
Aire d'un triangle = (Base x hauteur )/2
Aire de ABC = (BC x AB)/2
Aire de ABC = (16 x 12)/2
Aire de ABC = 192/2
Aire de ABC = 96
L'aire du triangle ABC est de 96 cm²

3. Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB)
Règle : Lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors celles ci sont parallèles entre elles.
Puisque le triangle ABC est rectangle en B alors (AB) est perpendiculaire à (BC)
Par construction on sait que (EF) est perpendiculaire à (BC)
Conclusion : (EF) et (AB) étant perpendiculaires à (BC) alors (EF) // (AB)

PARTIE B

On se place dans le cas où CF = 4 cm

1. Démontrer que EF = 3 cm
Je propose de calculer EF avec le théorème de Thalès puisque nous avons 3 points alignés d'une part C,E et A puis d'autre part C, F et B ainsi que deux droites parallèles (AB) // (EF).
On peut poser les rapports suivants :
CB/CF = AB/EF
Je remplace par les valeurs que je connais :
16/4 = 12/EF
J'applique le produit en croix
EF = (4x12)/16
EF = 48/16
EF = 3
EF mesure bien 3 cm 

2. Calculer l'aire du triangle EBC de hauteur EF puisque issue du sommet et perpendiculaire à sa base.
Aire d'un triangle = (base X hauteur) / 2
Aire  de EBC = (16 x 3) /2
Aire EBC = 48 /2
Aire EBC = 24
L'aire du triangle EBC est de 24 cm²

PARTIE C

1. Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à 3/4 x
Reprenons le théorème de Thalès sur les mêmes mesures en remplaçant 4 cm par x
CB/CF = AB/EF
16/x = 12/EF
EF = (x * 12)/16
EF = 12x/16
EF = 0,75 x
La mesure de EF est de 3/4 x cm (ou 0,75x cm)

2. Montrer que l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est égale à 33
Reprenons la méthode précédente en remplaçant les anciennes valeurs par les nouvelles
Aire EBC = (16 x 3/4x)/2
Aire EBC = (16x3/4x) /2
Aire EBC = (48/4x) /2
Aire EBC = 12x / 2
Aire EBC = 6x
L'aire de EBC est de 6x cm²

3. Pour quelle valeur de x l'aire du triangle EBC, exprimée en cm², est-elle égale à 33
x = 33/6
x = 5,5
Je vérifie ce calcul :
EF = 5,5 * 3/4
EF = 4,125 cm
Aire de EBC = (16 * 4,125)/2
Aire EBC = 66/2
Aire EBC = 33 cm
La valeur de x est de 5,5 cm pour  que l'aire de EBC soit égal à 33 cm²

4. Exprimer en fonction de x l'aire du triangle EAB
Aire du triangle EAB = Aire du triangle ABC - Aire du triangle EBC
Aire (EAB) = 96 - 6x
Aire (EAB) = 2 * Aire(EBC)
Je propose de poser le problème sous forme d'équation :
96 - 6x = 2 * 6x
96 - 6x = 12x
96 - 6x + 6x = 12x + 6x
96 = 18x
Je divise les deux membres par 18
96/18 = 18x/18
16/3 = x
L'aire du triangle EAB est égale a deux fois l'aire du triangle EBC su x = 16/3