Bonjour à tous, j'ai un exercice sur les suites et je ne comprends vraiment pas, es ce que quelqu'un pourrait m'aider même si vous m'aidez pour une ou deux ques

Bonjour Monpetitcoeur72

1) a) En 2010, la forêt possède 50 milliers d’arbres.
Donc nous avons bien [tex]u_0 = 50[/tex]
Lorsque 5 % des arbres sont abattus au cours d’une année, il reste [tex](1-\dfrac{5}{100})\times u_n[/tex], soit [tex]0,95\times u_n[/tex].
Mais on replante 3 milliers d’arbres chaque année.
Par conséquent,  [tex]u_{n+1}=0,95\times u_n+3[/tex]

b) La suite [tex](u_n)[/tex] n'est ni arithmétique, ni géométrique.

[tex]2\ a)\ v_{n+1} = 60-u_ {n+1}\\ v_{n+1} = 60-(0,95 u_n + 3)\\v_{n+1} = 60-0,95 u_n-3\\v_{n+1} = 57-0,95 u_n\\ v_{n+1} = 0,95\times60-0,95 u_n\\v_{n+1} = 0,95 (60-u_n)\\ v_{n+1} = 0,95 vn[/tex]
Donc la suite (Vn) est géométrique et sa raison est 0,95.

[tex]b)\ v_0 = 60-u_0\\v_0 = 60-50\\v_0 = 10 [/tex]
D'où, [tex]v_n = 10\times0,95^n[/tex]

[tex]c)\ u_n = 60-v_n\\u_n = 60-10\times (0,95)^n.[/tex]

3) Le nombre d’arbres en 2015 est donné par la valeur de [tex]u_5[/tex]
[tex]u_5 = 60-10\times (0,95)^5\approx52,262[/tex]
Le nombre d’arbres en 2015 est donc de 52 262 arbres.

[tex]4\ a)\ u_{n+1}-u_n = (60-10\times (0,95)^{n+1}) - (60 - 10\times (0,95)^n)\\u_{n+1}-u_n = 60-10\times (0,95)^{n+1} - 60 + 10\times (0,95)^n\\u_{n+1}-u_n=-10\times (0,95)^{n+1}+ 10\times (0,95)^n\\u_{n+1}-u_n=-10\times (0,95)^{n}\times0,95+ 10\times (0,95)^n\\u_{n+1}-u_n=10\times (0,95)^{n}\times(0,95+1)\\u_{n+1}-u_n=10\times (0,95)^{n}\times0,05\\u_{n+1}-u_n=0,5\times (0,95)^{n}[/tex]

[tex]b)\ 0,5 \times 0,95^n \ \textgreater \ 0\Longrightarrow u_{n+1}-u_n\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow u_{n+1}\ \textgreater \ u_n[/tex]

La suite [tex](u_n)[/tex] est une suite strictement croissante.

5) Il faut chercher à partir de quelle année le nombre d’arbres aura dépassé 50 000 augmenté de 10 %, c’est-à-dire quand nous aurons :

[tex](u_n)\ \textgreater \ 55\\\\60-10\times(0,95)^n \ \textgreater \ 55\\\\10\times(0,95)^n\ \textless \ 5\\\\(0,95)^n\ \textless \ 0,5[/tex]

Un tableur montre que n > 13,6.
Puisque ne est entier, nous prendrons n = 14.

Par conséquent, en 2024, le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de 10 % celui de 2010.

6) En utilisant un tableur et en donnant à n des valeurs de plus en plus grandes, nous constatons que [tex]60-10\times(0,95)^n [/tex] se rapproche de 60.

D'où, à long terme, le nombre d'arbres de la forêt se stabilisera à 60 000 arbres