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Question

ABCDEFGH est un cube d'arrête 8 cm. Pour tout point M de [AB] on construit le point N de [AD] tel quel DN = AM. On note x = AM [en cm]
Les droites (MP) et (NR) sont parallèles à (AE)

1. Exprimer le volume V (x) du solide MBCDNPFGHR en fonction de x

2. Justifier que V admet un minimum sur [0 ; 8]. Préciser ce minimum et pour qu'elle position de M il est atteint.

[Le schéma du carré est en bas]
ABCDEFGH est un cube d'arrête 8 cm. Pour tout point M de [AB] on construit le point N de [AD] tel quel DN = AM. On note x = AM [en cm] Les droites (MP) et (NR)

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1 Réponse

  • 1. Exprimer le volume V(x) du solide MBCDNPFGHR en fonction de x.

    V(x)=8*8*8-8*x(8-x)/2      
          =512-4x(8-x)
    V(x)=4x²-32x+512 

    2. Justifier que V admet un minimum sur [0;8]. Préciser ce minimum et pour quelle position de M il est atteint.

    V=4x²-32x+512
       =4(x²-8x)+512
       =4(x²-8x+16-16)+512
       =4((x-4)²-16)+512
       =4(x-4)²-64+512
    V =4(x-4)²+448 (x-4)²>0

    donc V>448

    donc V admet un minimum en 448

    ce minimum est atteint pour x=4

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