Mathématiques

Question

Aidez moi DM de maths svp c'est urgent pour jeudi
Exercice 1:
ABC est un triangle tel que AB=4,2 cm ; AC=5,6 cm et BC=7cm
a. Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
b. Calculer son aire.
c. On sait que si R est le rayon du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés ont pour longueurs a,b,c données en cm , l'aire de ce triangle est égale à abc/4R (fraction
En utilisant cette formule , calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC
d. Pouvait-on prévoir ce résultat ? Justifier .


Exercice 2:
ABC est un triangle rectangle en A. On a construit les demi-cercle de diamètres [AB], [AC] et [BC] comme le montre la figure 1.

a) Exprime l'aire totale de la figure en fonction de AB, AC et BC.
b) Montre que l'aire du demi-disque bleu est égale à la somme des aires des demi-disques verts. Déduis-en que l'aire totale de la figure est égale à la somme des aires du triangle ABC et du disque de diamètre [BC].
c) Montre que l'aire des lunules (les parties orange de la figure 2) est égale à l'aire du triangle ABC.
Voila les 2 figures ci-dessous.
Merci pour votre aide !


Aidez moi DM de maths svp c'est urgent pour jeudi Exercice 1: ABC est un triangle tel que AB=4,2 cm ; AC=5,6 cm et BC=7cm a. Démontrer que ABC est un triangle r

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1 Réponse

  • ABC est un triangle tel que AB=4.2cm :AC=5.6 cm : BC=7cm
    a)Demontrer que ABC est un triangle rectangle.
    Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour vérifier les égalités
    BC² = AB² + AC²
    7² = 4,2² + 5,6²
    49 = 17,64 + 31.36
    49 = 49
    L'égalité étant prouvée, le triangle ABC est rectangle en A.
     b) Calculer son aire .
    Aire d'un triangle = [Base × hauteur]/2
    Aire ABC = (AB × AC)/2
    Aire ABC = (4,2 × 5,6)/2
    Aire ABC = 23,52 / 2
    Aire ABC = 11,76
    c) On sait que si R est le rayon du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés ont pour longueur a,b,c donnés en cm, l'aire de ce triangle est égale à abc/4R.
    En utilisant cette formule, calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC .
    Pouvait-on prévoir ce résultat ?
    Aire ABC = [a × b × c] /(4 × R)

    Calculons le rayon du cercle à partir de l'aire du triangle :
    11,76 = (4,2 × 5,6 × 7) / 4 × R
    Par un produit en croix : 11,76 × 4R = 164,64
    47,04 × R = 164,64
    R = 164,64 / 47,04
    R = 3,5
    rayon = 3,5 cm

    On pouvait s'attendre à ce résultat car, par définition, le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.
    Donc le diamètre du cercle circonscrit à ABC est égal à BC et par simple calcul son rayon équivaut à BC / 2 soit 3,5 cm.     Exercice 2:ABC est un triangle rectangle en A. On a construit les demi-cercles de diamètres [AB], [AC] et [BC] comme le montre la figure 1.

    a) Exprime l'aire totale de la figure en fonction de AB, AC et BC.
    Figure 1
    A1 = Aire du triangle rectangle BAC
    A2 = Aire du "petit" demi cercle vert de diamètre AB
    A3 = Aire du "grand" demi cercle vert de diamètre AC
    A4 = Aire du demi cercle bleu de diamètre BC
    ___________________________________________________________________    Aire d'un triangle : (base × hauteur) / 2
    A1 = (AC × AB) / 2

    Aire d'un demi-cercle : A = (π × D²) / 2³(soit 8).
    A2 = π × (AB)² / 8
    A3 = π × (AC)² / 8
    A4 = π × (BC)² / 8
    ___________________________________________________________________
    b) Montre que l'aire du demi-disque bleu est égale à la somme des aires des demi-disques verts. Déduis-en que l'aire totale de la figure est égale à la somme des aires du triangle ABC et du disque de diamètre [BC].
    Effectivement, on peut apparenter ceci au théorème de Pythagore...
    Hypoténuse² = petit côté² + grand côté²
    Or les diamètres des demi-cercles étant les côtés du triangle rectangle central
    il y a un rapport avec les égalités de Pythagore BC²=AB²+AC² 
    Or, l'aire totale de la figure 1 = A1+A2+A3+A4
    Aire totale des demi-cercles => A2 + A3 + A4
    d'où [ π × (AB)² / 8 ] + [ π × (AC)² / 8 ] = [ π × (BC)² / 8 ]

    Figure 2 
    c) Montre que l'aire des lunules (les parties orange de la figure     2) est égale à l'aire du triangle ABC.

    Aire des lunules oranges = Aire totale - Aire du disque bleu (de diamètre BC)
    Aire des lunules oranges = (A1+A2+A3+A4) - [(π × BC²) / 8]

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