soient A,B et M des points du plan et I le milieu de [AB]. exprimer ( ->MI+ ->IA)² + ( ->MI+ ->IB)² de deux façon différentes pour obtenir une égalité et donner

I est le milieu de [AB]
donc  [tex]\overrightarrow {IA}+ \overrightarrow {IB}=\overrightarrow {0}[/tex]
alors, on obtient :
[tex](\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IA})^2+(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IB})^2=MI^2+IA^2+IB^2+2.\overrightarrow {MI}.(\overrightarrow {IA}+\overrightarrow {IB})[/tex]

donc
[tex](\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IA})^2+(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IB})^2=2MI^2+ \frac{1}{2}.AB^2 [/tex]

par ailleurs :
[tex](\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IA})^2+(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IB})^2=MA^2+MB^2[/tex]

donc
[tex]MA^2+MB^2=2.MI^2+ \frac{1}{2}.BA^2 [/tex]

cette égalité se nomme "théorème de la médiane"