On considère le carré EFGH. I le milieu de [EF]. EFK e tFJG sont deux triangles équilatéraux.( K est a l'intérieur du carré EFGH. et J est à l'extérieur du carr

Bonsoir MariemeKF

La figure est en pièce jointe.

Soit le repère [tex](E,\overrightarrow{EF},\overrightarrow{EH})[/tex]

Alors dans ce repère, nous avons : 

[tex]H(0;1)\\\\K(\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\J(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2};\dfrac{1}{2})[/tex]

Coordonnées de [tex]\overrightarrow{HK}[/tex] :

[tex]\overrightarrow{HK}(x_K-x_H;y_K-y_H)\\\\\overrightarrow{HK}(\dfrac{1}{2}-0;\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1)[/tex]

Coordonnées de [tex]\overrightarrow{HJ}[/tex] :

[tex]\overrightarrow{HJ}(x_J-x_H;y_J-y_H)\\\\\overrightarrow{HJ}(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0;\dfrac{1}{2}-1)\\\\\overrightarrow{HJ}(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2})[/tex]

Les points H, K et J seront alignés si les vecteurs   [tex]\overrightarrow{HK}[/tex]  et   [tex]\overrightarrow{HJ}[/tex]  sont colinéaires.

Calculons le déterminant du couple de ces vecteurs.

[tex]det(\overrightarrow{HK}, \overrightarrow{HJ})=\dfrac{1}{2}\times(-\dfrac{1}{2})-(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})\times(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1)\\\\det(\overrightarrow{HK}, \overrightarrow{HJ})=-\dfrac{1}{4}-(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1)(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1)\\\\det(\overrightarrow{HK}, \overrightarrow{HJ})=-\dfrac{1}{4}-((\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2-1^2)\\\\det(\overrightarrow{HK}, \overrightarrow{HJ})=-\dfrac{1}{4}-(\dfrac{3}{4}-1)\\\\det(\overrightarrow{HK}, \overrightarrow{HJ})=-\dfrac{1}{4}-(-\dfrac{1}{4})[/tex]

[tex]\\\\det(\overrightarrow{HK}, \overrightarrow{HJ})=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\\\\\boxed{det(\overrightarrow{HK}, \overrightarrow{HJ})=0}[/tex]

Puisque ce déterminant est nul, les  vecteurs   [tex]\overrightarrow{HK}[/tex]  et   [tex]\overrightarrow{HJ}[/tex]  sont colinéaires.

Par conséquent,  les points H, K et J sont alignés