Bonsoir a tous, j'ai besoin de votre aide pour un exercice de spé maths, si vous pouviez au moins me donner une piste pour savoir ou commencer.. merci d'avance
Mathématiques
Toben493
Question
Bonsoir a tous, j'ai besoin de votre aide pour un exercice de spé maths, si vous pouviez au moins me donner une piste pour savoir ou commencer.. merci d'avance ! =)
On considère un entier a défini par son écriture décimale a=a^na^n-1...a^0 avec a^n pas égal a 0
a= (a^n)*(10^n)+(a^n-1)*(10^n-1)+...+(a^1)*10+a^0
On dira que le rang du chiffre ak ( d'indice k ) est égal à k
1) Démontrer qu'un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres de rang pair diminuée de la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11
2) L'entier 15374876926816 est il divisible par 11?
3) Déterminer les multiples de 11 compris entre 1000 et 9999 dont la somme des chiffres est égale à 11
PS : j'ai crois avoir déjà resolu la derniere question mais je ne sais toujours pas comment montrer mon raisonnement.
On considère un entier a défini par son écriture décimale a=a^na^n-1...a^0 avec a^n pas égal a 0
a= (a^n)*(10^n)+(a^n-1)*(10^n-1)+...+(a^1)*10+a^0
On dira que le rang du chiffre ak ( d'indice k ) est égal à k
1) Démontrer qu'un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres de rang pair diminuée de la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11
2) L'entier 15374876926816 est il divisible par 11?
3) Déterminer les multiples de 11 compris entre 1000 et 9999 dont la somme des chiffres est égale à 11
PS : j'ai crois avoir déjà resolu la derniere question mais je ne sais toujours pas comment montrer mon raisonnement.
1 Réponse
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1. Réponse Anonyme
1) Démontrer qu'un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres de rang pair diminuée de la somme de ses chiffres de rang impair est divisible par 11
a est divisible par 11 si
(a^n)*(10^n)+(a^n-1)*(10^n-1)+...+(a^1)*10+a^0=11k
or 10=11-1 ; 100=99+1 ; 1000=1001-1 ; ... 10^n=999...9+1
donc
- si n est pair alors 10^n=11k+1
- si n est impair alors 10^n=11k'-1
ainsi
(a^n)*(10^n)+(a^n-1)*(10^n-1)+...+(a^1)*10+a^0
=a^n*(+1)+a^(n-1)*(-1)+...+a^1*(-1)+a^0
=a^n-a^(n-1)+a^(n-2)+...-a^1+a^0
donc
a^n-a^(n-1)+a^(n-2)+...-a^1+a^0=11k
un entier est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres de rang pair diminuée de la somme de ses chiffres de rang impair est divisible
par 11
2) L'entier 15374876926816 est il divisible par 11?
1-5+3-7+4-8+7-6+9-2+6-8+1-6=-11
donc 15374876926816 est divisible par 11
3) Déterminer les multiples de 11 compris entre 1000 et 9999 dont la somme des chiffres est égale à 11
cela revient à déterminer les entiers multiples de 11
on trouve facilement
1001 ; 1012 ; 1023 ; ... 9988; 9999