ABCD est un carré. On donne : AB = 5 cm et SD = 4 cm . Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide SABCD .

Bonsoir HunterkanaKata

[tex]Aire_{pyramide\ SABCD} = \dfrac{1}{3}\times aire(ABCD)\times\ hauteur\ de\ la\ pyramide[/tex]

Aire de la base ABCD = aire du carré de côté 5
                                 = 5 x 5
                                 = 25 cm²

Si le point O est le centre du carré ABCD, alors la hauteur de la pyramide est [SO].

Calcul de SO : 

Par Pythagore dans le triangle BAD rectangle en A, 
[tex]BD^2=BA^2+AD^2\\BD^2=5^2+5^2=25+25=50\\\\BD=\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}\\\\BD=5\sqrt{2}[/tex]

[tex]OD=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}\times5\sqrt{2}\\\\OD=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}[/tex]

Par Pythagore dans le triangle SOD rectangle en O,

[tex]SD^2=SO^2+OD^2\\\\4^2=SO^2+(\dfrac{5\sqrt{2}}{2})^2\\\\16=SO^2+(\dfrac{25\times2}{4})\\\\16=SO^2+\dfrac{25}{2}\\\\SO^2=16-\dfrac{25}{2}\\\\SO^2=\dfrac{32}{2}-\dfrac{25}{2}[/tex]

[tex]SO^2=\dfrac{7}{2}=\dfrac{14}{4}\\\\SO=\sqrt{\dfrac{14}{4}}\\\\SO=\dfrac{\sqrt{14}}{2}[/tex]

[tex]Aire_{pyramide\ SABCD} = \dfrac{1}{3}\times 25\times \dfrac{\sqrt{14}}{2}}\ cm^3\\\\\\\boxed{Aire_{pyramide\ SABCD} = \dfrac{25\sqrt{14}}{6}\ cm^3}[/tex]