Bonjour, Exercice 1: Etablir les tableaux de signes des fonctions suivantes: . f1(x)= x-1/2-x . f1(x)= 2x+4/ 6x-3 . f1(x)= x-9/ 5x+5 Exercice 2: A l'occasion d'

Bonsoir  Angecollege

Exercice 1 

[tex]f_1(x)=\dfrac{x-1}{2-x}[/tex]
Racines : Numérateur : x-1 = 0 ==> x = 1
                Dénominateur : 2-x = 0 ==> x = 2
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||} x&-\infty&&1&&2&&+\infty\\ x-1&&-&0&+&+&+&\\ 2-x&&+&+&+&0&-&\\ f_1(x)=\dfrac{x-1}{2-x}&&-&0&+&|&-& \\\end{array}[/tex]

[tex]f_2(x)=\dfrac{2x+4}{6x-3}[/tex]
Racines : Numérateur : 2x+4 = 0 ==> 2x=-4 ==> x = -2
                Dénominateur : 6x-3 = 0 ==> 6x = 3 ==> x = 3/6 = 1/2
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||} x&-\infty&&-2&&\dfrac{1}{2}&&+\infty\\ 2x+4&&-&0&+&+&+&\\ 6x-3&&-&-&-&0&+&\\ f_2(x)=\dfrac{2x+4}{6x-3}&&+&0&-&|&+& \\\end{array}[/tex]

[tex]f_3(x)=\dfrac{x-9}{5x+5}[/tex]
Racines : Numérateur : x-9 = 0 ==> x = 9
                Dénominateur : 5x+5 = 0 ==> 5x = -5 ==> x = -1
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||} x&-\infty&&-1&&9&&+\infty\\ x-9&&-&-&-&0&+&\\ 5x+5&&-&0&+&+&+&\\ f_3(x)=\dfrac{x-9}{5x+5}&&+&|&-&0&+& \\\end{array}[/tex]

Exercice 2

Nous savons que : [tex]v=\dfrac{d}{t}[/tex] où v est la vitesse en km/h, d est la distance parcourue en km et t est la durée du trajet en heures.

1) [tex]v_{aller} = 15\ \ et\ \ d = 30[/tex]
[tex]15=\dfrac{30}{t}\\\\15t=30\\\\t=\dfrac{30}{15}\\\\\boxed{t=2}[/tex]

Le cycliste mettra 2 heures pour effectuer son trajet aller.

2)  [tex]v_{retour} = 21\ \ et\ \ d = 30[/tex]
[tex]21=\dfrac{30}{t}\\\\21t=30\\\\t=\dfrac{30}{21}\\\\\boxed{t=\dfrac{10}{7}}[/tex]

Le cycliste mettra 10/7 d'heure pour effectuer son trajet retour.

Pour le trajet aller-retour, la distance parcourue sera de 2 * 30 = 60 km.
La durée de ce trajet est (2 + 10/7) d'heure, soit 14/7 + 10/7 = 24/7 d'heure.

La vitesse moyenne sur le trajet aller-retour se calcule par : 
[tex]\dfrac{60}{\dfrac{24}{7}}=60\times\dfrac{7}{24}=\dfrac{420}{24}=17,5[/tex]

Par conséquent, la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour est de 17,5 km/h.

3a) Pour le trajet aller-retour, la distance parcourue sera de 2 * 30 = 60 km.

Le cycliste mettra 2 heures pour effectuer son trajet aller.
Le cycliste mettra 30/x heures pour effectuer son trajet retour.

Donc, le cycliste mettra (2+30/x) heures pour effectuer son trajet retour.

Par conséquent, en appliquant la formule rappelée en début d'exercice : 

la vitesse moyenne est égale à   [tex]\boxed{V(x)=\dfrac{60}{2+\dfrac{30}{x}}}[/tex]

[tex]b)\ V(x)=\dfrac{60}{2+\dfrac{30}{x}}\\\\V(x)=\dfrac{60}{\dfrac{2x}{x}+\dfrac{30}{x}}\\\\V(x)=\dfrac{60}{\dfrac{2x+30}{x}}\\\\V(x)=60\times\dfrac{x}{2x+30}\\\\V(x)=\dfrac{60x}{2x+30}[/tex]

[tex]V(x)=\dfrac{60x}{2(x+15)}\\\\\boxed{V(x)=\dfrac{30x}{x+15}}[/tex]

(c) La vitesse moyenne sur le trajet total peut-elle dépasser les 30 km/h ?

Non, c'est impossible.

En effet, si c'était la cas nous aurions : 

[tex]\dfrac{30x}{x+15}\ \textgreater \ 30\\\\\dfrac{x}{x+15}\ \textgreater \ 1\\\\x\ \textgreater \ x+15\\\\x-x\ \textgreater \ 15\\\\0\ \textgreater \ 15\\ce\ qui\ est\ impossible ! [/tex]